کاساندرا

برای بررسی سابقه‌ی این موضوع نوشته‌ی پشه در مورد بازدیدش از مدرسه‌ی چارباغ را بخوانید. سپس نوشته‌ی اول شهریور (محراب مدرسه چارباغ)،نوشته‌ی هفتم شهریور (درباره‌ی خطای محاسبه‌ی زاویه در مساله‌ی محراب مدرسه‌ی چارباغ) و نوشته‌ی پانزدهم شهریور (سه مطلب پراکنده) را ببینید. نکات خوبی هم در بخش پیامهای دیگران این نوشته‌ها و همچنین پیامهایی که اشتباها زیر نوشته‌های دیگر است (نوشته‌ی سیزدهم شهریور (جمله قصار-12) و نوشته‌ی شانزدهم شهریور (آقا بدجوری مغز می‌دزدن!))، مطرح شده است. کوروش علیانی هم به پشه پیشنهاد کرده که اصرار محقق کرکی بر تعویض قبله را اینجا بخوانیم. (حدود صفحه ۲۱۰).

یکی از جذابیتهای مساله‌ی کوتاهترین فاصله، مفهوم جهت قبله و اهمیت آن است. البته این مساله در یک چارچوب غیرمذهبی نیز قابل بررسی است. در هندسه‌ی خطی و حتی زندگی روزمره در مورد کوتاهترین مسیر بین دو نقطه و جهتی که برای رفتن از یک نقطه به نقطه‌‌ی دیگر باید طی کرد، شکی نداریم. انتخاب خط راست به اندازه‌ای بدیهی است که آن را قانون حمار نامیده‌اند.

اما وقتی بحث سطوح منحنی پیش می‌آید، مساله نیاز به دقت بیشتری دارد. در این شرایط کوتاهترین مسیر بین دو نقطه که همواره روی سطح مورد نظر باشد، ژئودزی ژئودزیک نامیده می‌شود. در مورد خاص کره، کوتاهترین مسیر دایره‌ی عظیمه‌ای است که از آن دو نقطه عبور می‌کند. دایره‌ی عظیمه، بزرگترین دایره‌ای است که می‌توان روی یک کره کشید و از تقاطع صفحه‌ای که از مرکز کره عبور می‌کند و سطح کره به وجود می‌آید. خط استوا یک دایره‌ی عظیمه است. حتی اگر به کمترین فاصله‌ی واقعی در فضای سه بعدی علاقه داشته باشید، می‌بینید که خط واصل دو نقطه در صفحه‌ی دایره‌ی عظیمه قرار دارد و در نتیجه جهتی که پیشنهاد می‌کند همان جهتی است که کمان واصل پیشنهاد می‌کند.

فرض کنید به این پیچیدگیها علاقه ندارید و می‌خواهید از نقشه‌های تخت معمولی استفاده کنید. تبدیل هندسه‌ی کروی به تخت دو مشکل برای شما ایجاد می‌کند. شاید از کتاب جغرافیای دوره‌ی راهنمایی به یاد داشته باشید که قسمتهای نزدیک به قطب نقشه‌ی تخت به طرز غیر طبیعی کشیده می‌شوند، در نقشه‌ی زیر جزایر شمالی کانادا و گرینلند به طور غیرعادی بزرگ هستند. دلیل این پدیده این است که هرچه به قطب نزدیک می‌شویم، دایره‌های با عرض جغرافیایی یکسان کوچکتر می‌شوند ولی روی نقشه‌ی تخت همه‌ی این دایره‌ها یکسان ترسیم می‌شوند.

مشکل دوم که به شرایط مرزی دوره‌ای مربوط است و حتی اگر سطح زمین استوانه‌ای بود نیز ظاهر می‌شد، ناشی از بریدن کره است. نقاطی که در شرقیترین و غربیترین بخش نقشه هستند، در عمل روی زمین با یکدیگر همسایه‌اند اما روی نقشه از یکدیگر دورند.

بگزارید ببینیم این دو مشکل در قبله‌یابی چه تاثیری دارند. فرض کنید روی دایره‌ای به شعاع یک متر به مرکز قطب شمال حرکت می‌کنید و می‌خواهید همیشه رو به سوی قبله داشته باشید. شهود شما و حل مساله روی کره به شما می‌گوید، سویی که به آن نگاه می‌کنید تغییر نمی‌کند. ولی روی نقشه‌ی تخت شما از انتهای بالا-راست نقشه تا انتهای بالا-چپ نقشه حرکت می‌کنید و در نتیجه راستای مکه از جنوب غربی با سرعت بسیار بالایی به جنوب شرقی حرکت می‌کند و از آن بدتر این که بعد از عبور از یک خط فرضی (خروج از سمت چپ نقشه‌ی تخت و ورود از سمت راست آن) باید ناگهان نزدیک به ۹۰ درجه بچرخید.

با استفاده از روش مرسوم استفاده از حالت حدی نشان دادم که مختصات تخت، برای جهت‌یابی مناسب نیست. ولی نکته‌ی جالب دیگری که وجود دارد به هم خوردن مطلق تصور ما از جهت در مواردی است که با فاصله‌های زیاد یا عرضهای جغرافیایی زیاد سروکار داریم. به عنوان مثال تورنتو در عرض جغرافیایی بالاتری نسبت به مکه قرار دارد و شهود تخت به ما می‌گوید که جهت قبله جنوب شرقی است ولی در عمل قبله‌ی تورنتو شمال شرقی است. دایره‌المعارف انکارتا این توانایی را دارد که کوتاهترین مسیرهای کمانی را روی نقشه‌ی تخت نمایش دهد. شکل زیر کمان واصل مکه-تورنتو را روی نقشه‌ی تخت نشان می‌دهد و می‌بینید که جهت قبله‌ی تورنتو شمال شرقی است.

چرا؟ باز هم از یک مثال حدی بهره می‌بریم. فرض کنید درست روی نقطه‌ی قطبی شمال ایستاده‌اید و یک قدم از مکه دور می‌شوید. کمان واصل شما و مکه از قطب می‌گذرد. بنابراین جهت قبله شمال است. این واقعه در عرضهای جغرافیایی بالا رخ می‌دهد.

با کمک این ایده مسایل جذابی می‌توان طرح کرد. یکی از مسایل انتخاب تیم ملی المپیاد فیزیک ایران در بهار ۸۰ (اولین دوره‌ای که من عضو کمیته بودم) که شهرام شریعتی طرح کرده بود، یافتن مکان هندسی نقاطی بود که قبله‌شان در راستای شرقی-غربی است. برخلاف انتظار جواب این مساله مدار مکه نیست. اگر مکه روی استوا بود، جواب سوال استوا بود ولی در این حالت جواب پیچیده‌تری داریم.

فرض کنید در فاصله‌ی یک کیلومتری کعبه هستید. جواب کروی و تخت با یکدیگر متفاوتند؟ خیر. ده‌هزار کیلومتری و در عرضهای جغرافیایی بالاتر چطور؟ بله. هزار کیلومتر و در عرضهای جغرافیایی نه چندان بالاتر چطور؟ این دو عدد را برای مدرسه‌ی چارباغ محاسبه کرده‌ام. جواب روش کروی ۴۴.۸ درجه از غرب به جنوب و جواب روش تخت ۴۳.۵ درجه از غرب به جنوب است.

دوباره به مبحث مورد علاقه‌ی من یعنی خطا رسیده‌ایم. خطای پذیرفته شده و طبیعی در رو به جهت خاصی ایستادن، یک مرتبه‌ی بزرگی از اختلاف این دو عدد بیشتر است. بنابراین دو روش جواب یکسانی می‌دهند. یادآوری می‌کنم که مقادیری که اختلافشان از خطا کمتر است، یکی‌اند.

از دو روش ظاهرا متفاوت-که در واقع یکی هستند- می‌توان برای زاویه‌یابی استفاده کرد. روشی که من در اینجا نوشته‌ام و فایل متمتیکایش اینجاست. و روشی که یکی از خوانندگان معرفی کرده و روابطش اینجا نوشنه شده و فایل متمتیکایش اینجاست. البته پیشنهاد می‌کنم در استفاده از این روابط دقت کنید. چون اولا در تبدیل عددهای لاتین و فارسی، ترتیب عددها و جهت عدد صحیح و اعشاری به هم ریخته است. ثانیا یک منفی در روابط جا افتاده است.