درباره‌ی خطای محاسبه‌ی زاویه در مساله‌ی محراب مدرسه‌ی چارباغ
زاویه‌ها را در مساله‌ی مدرسه‌ی چارباغ با دقت درجه گزارش کرده‌ام. به عنوان مثال زاویه‌ی چرخش پیامبر در نماز دوقبله‌ای را ۱۵۷ درجه نوشته‌ام. این عدد را می‌توانستم به صورت ۱۶۰، ۱۵۷، ۱۵۶.۸، ۱۵۶.۸۰ یا ۱۵۶.۸۰۵ گزارش کنم ولی چرا ۱۵۷ را انتخاب کردم؟
علوم تجربی و فیزیک به عنوان نماینده‌ی آنها دقیقند. این دقت به معنی مرتکب نشدن خطا نیست، بلکه به معنی در نظر گرفتن خطاست. یعنی همواره ناحیه‌ی اعتبار ادعا مشخص است. گزارش آن عدد به صورت ۱۵۷ به معنی این است که ادعا کرده‌ام که دقت محاسباتم یک درجه است و بیش از این (مثلا دهم درجه) ادعایی ندارم.
یک درجه را از کجا به دست آورده‌ام؟ اجازه بدهید منشا خطاها را بررسی کنیم. اولین خطا، خطای مکان‌یابی است. تمام نقاط مورد بررسی بناهایی با ابعاد چند ده یا چندصد متر هستند به این‌ها خطای ناشی از چسباندن عکسها به یک دیگر توسط گوگل را که از همین مرتبه است اضافه کنید. در مجموع برای طولهای حدود ۱۰۰۰ کیلومتر خطایی از مرتبه‌ی صدمتر مرتکب می‌شویم که به معنی داشتن پنج رقم معنی‌دار است. فرض می‌کنم که گوگل به خطای یک درصدی کروی نبودن زمین دقت کرده است.
اما خطای دیگر ناشی از انحنای زمین است. می‌دانیم که جمع زوایای مثلث روی سطوح منحنی ۱۸۰ درجه نیست. در مورد خاص کره و برای مثلثهای کوچک خطا از مرتبه‌ی نسبت مساحت مثلث به مساحت کره است. در این مثال خاص که با طولهای ۱۰۰۰ کیلومتری سروکار داریم این نسبت یک درصد است. یعنی در مجموع سه زاویه از مرتبه‌ی درجه خطا مرتکب شده‌ایم. این خطا را می‌توان با مقایسه‌ی طول کمان و طول وتری که دو نقطه‌ی مورد نظر را به یکدیگر وصل می‌کند نیز تخمین زد. نسبت این دو مقدار از مرتبه‌ی نسبت سینوس نصف زاویه‌ی راس و خود نصف زاویه‌ی راس است که در مساله‌ی ما ۴-۵ درجه است. از مسایلی مانند آونگ می‌دانیم که نسبت سینوس به خود زاویه در زوایای کوچکتر از ۶ درجه با خطای کمتر از یک درصد، یک است.
با در نظر گرفتن این که مبنای مقایسه‌ها جهت‌یابی قبله است که در بهترین حالت چند درجه خطا دارد* و بحثهای فوق، عددهایم را با دقت درجه گزارش کردم.
مساله‌ی جذاب دیگر بررسی این زاویه‌ها با در نظر گرفتن انحنای زمین است. یکی از کارهایی که می‌توانستم انجام دهم، استفاده از روابط هندسه روی سطوح کروی (با مراجعه به جزوه‌های قدیمی‌ام از درس هندسه‌ی دیفرانسیل خرمی) بود، ولی ترجیح دادم مساله را به روش دیگری حل کنم.
از هر سه نقطه یک صفحه می‌گذرد و زاویه‌ای که ما دنبالش می‌گردیم (مثلا) زاویه‌ی بین صفحه‌ی مکه-مدینه-مرکز زمین و صفحه‌ی بیت‌المقدس-مدینه-مرکز زمین است. معادلات این صفحه‌ها و بردارهای عمودشان را با کمک متمتیکا و طول و عرض جغرافیایی نقطه‌ها که از گوگل ارث به دست آوردم، حساب کردم و با کمک ضرب داخلی این زاویه‌ها را به دست آوردم. زاویه‌ها را برای مقایسه با دقت هزارم درجه نوشته‌ام که کار درستی نیست. اعداد درون پرانتز، از روش قبلی به دست آمده‌اند.
زاویه‌ی مسجد الحرام-مدرسه‌ی چارباغ-مسجد الاقصی= ۴۴.۷۶۲ (۴۴.۱۹۰)
زاویه‌ی مسجد الحرام-مدرسه‌ی چارباغ-اهرام ثلاثه= ۴۰.۷۱۴ (۴۰.۱۰۶)
زاویه‌ی مسجد الحرام-مدرسه‌ی چارباغ-مسجد النبی= ۱۵۶.۹۲۷ (۱۵۶.۸۰۵)
همان طور که دیده می‌شود، به دلیل محدب بودن سطح همه‌ی زوایا در روش دوم از روش اول بزرگترند و همه در بازه‌ی خطای یک درجه‌ای قرار می‌گیرند. همچنین تفاوت در مثلث کوچکتر (آخرین داده) از دوتای دیگر کمتر است. به طور خلاصه زاویه‌های گزارش شده در نوشته‌ی قبلی درست و قابل استنادند.
اما محل تغییر قبله، مسجد النبی نبوده است. چون مکان مسجد ذوقبلتین را نمی‌دانستم، از مسجد النبی در چهار جهت اصلی 10 کیلومتر دور شدم و زاویه‌ها را اندازه گرفتم. زاویه‌های به دست آمده بین 155 و 159 درجه هستند. به عبارت دیگر با این محاسبات، زاویه‌ی چرخش پیشنماز 157 درجه با خطای دو درجه است.
باز هم تکرار می‌کنم. مهمترین مزیت علوم تجربی این است که نقص نسبی یا مطلق دانشتان به صورت کمی قابل ارائه است.
* به این معنی نیست که زاویه همیشه میزان خاصی و در جهت خاصی غلط است. بلکه این زاویه، توزیعی دارد که پهنای آن چند درجه است.